『linear algebra-7』quadratic form

二次型

本篇是对高等代数中"二次型"的定义、定理以及计算方法的速记，不涉及严密的推导证明。

一、二次型的矩阵表示

• \(n\) 元变量的二次齐次多项式：\(f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\)，其中 \(a_{ij} = a_{ji}\)

• 二次型对应的矩阵：由 \(a_{ij} = a_{ji}\)，二次型矩阵 \(\text{A}\) 是对称阵，形式如下 \[ \begin{align} f(x_1, \dots, x_n) = \begin{bmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \end{align} \] 平方项的系数 \(\Rightarrow\) \(\text{A}\) 对角线元素 \(a_{ii}\)；交叉项（已合并同类项）的系数 \(\Rightarrow\) 拆成两半分给 \(a_{ij}\) 和 \(a_{ji}\)

  注意：由于 \(x^T\text{A}x = x^T\text{B}x \Leftrightarrow \text{A} = \text{B}\)，故二次型与对称方阵 \(\text{A}\) 是一一对应的

• 矩阵的合同关系：设 \(\text{A, B} \in \text{M}_n(\text{K})\)，若存在 \(n\) 阶可逆阵 \(\text{C}\)，使得 \(\text{B} = \text{C}^T\text{AC}\)，则称 \(\text{A}\) 与 \(\text{B}\) 合同，记作 \(\text{A} \simeq \text{B}\)

• 合同是等价关系：自反性、对称性、传递性

  • 自反性：\(\text{A} = \text{I}^T\text{AI}\)，即任何矩阵跟自己合同
  • 对称性：设 \(\text{A} \simeq \text{B}\)，则有 \(\text{B} \simeq \text{A}\)
  • 传递性：设 \(\text{A} \simeq \text{B}\)，\(\text{B} \simeq \text{C}\)，则有 \(\text{A} \simeq \text{C}\)

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二、二次型的化简

• 对称阵必可对角化：设 \(\text{A}\) 是 \(n\) 阶对称阵，则必存在 \(n\) 阶可逆阵 \(\text{C}\)，使得 \(\text{C}^T\text{AC}\) 为对角阵

• 主轴定理：对于 \(f(x_1, \dots, x_n) = x^T\text{A}x\)，总存在正交变换 \(x = \text{Q}y\)（\(\text{Q}\) 为正交阵），使得 \(\text{Q}^{-1}\text{AQ} = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)

  即 \(x^T\text{A}x = y^T(\text{Q}^T\text{AQ})y = \lambda_1 y_1^2 + \dots + \lambda y_n^2\)，其中 \(\lambda_i\) 是 \(\text{A}\) 的特征值，\(\text{Q}\) 的第 \(i\) 列为 \(\lambda_i\) 对应的特征向量

  注意：主轴定理与"实对称矩阵的对角化"本质是相同的，即 \(\text{Q}^{-1}\text{AQ} = \text{Q}^T\text{AQ} = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)

• 主轴定理的几何含义：正交阵 \(\text{Q}\) 本质上是两组基间的线性变换表示矩阵，可以将二次曲线转换到另一个坐标系，消除交叉项

  \(\text{A}\) 表示曲线在自然坐标系 \((e_1, \dots, e_n)\) 下的方程，\(\text{Q}^T\text{AQ}\) 表示曲线在新坐标系 \((f_1, \dots, f_n) = (e_1, \dots, e_n)\text{ Q} = \text{Q}\) 下的方程

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三、惯性定理

• 惯性定理：对于 \(n\) 元二次型 \(x^T\text{A}x\)，其标准型的正平方项数量 \(p\) 和 负平方项数量 \(q\) 都是不变的

• 合同标准型：实对称矩阵 \(\text{A} \simeq \text{diag}(1, \dots, 1; -1, \dots, -1; \textbf{O})\)，一共 \(p\) 个 \(1\)，\(q\) 个 \(-1\)，称为 \(\text{A}\) 的合同标准型

  标准型：合同规范型对应的二次方程 \(y_1^2 + \dots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \dots- y_{p+q}^2\) 称为 \(x^T\text{A}x\) 的标准型

• 惯性指数：二次型的不变量，不随正交变换的选取而改变

  • 正惯性指数：二次型 \(x^T\text{A}x\) 的标准型中，对角阵的正对角元的数量，记共 \(p\) 个
  • 负惯性指数：二次型 \(x^T\text{A}x\) 的标准型中，对角阵的负对角元的数量，记共 \(q\) 个

  设 \(r\) 为 \(\text{A}\) 的秩（二次型 \(x^T\text{A}x\) 的秩），则有 \(r = p + q\)

• "合同" 与 "惯性指数"：实对称矩阵 \(\text{A} \simeq \text{B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A}\) 与 \(\text{B}\) 有相同的正惯性指数和负惯性指数

• 二次型的种类：设 \(f(x_1, \dots, x_n) = x^T\text{A}x\)，共有以下 5 种情形：

  • 正定：\(\forall \ \alpha \ne \textbf{0}, \ \alpha^T\text{A}\alpha > 0\)，则称 \(f\) 是正定二次型，\(\text{A}\) 是正定矩阵

    \(f\) 正定 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 的 \(p = n\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A} \simeq \text{I}_n\) \(\Leftrightarrow\) 存在可逆的 \(\text{P}\) 使得 \(\text{A} = \text{P}^T\text{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A}\) 的 \(n\) 个特征值 \(\lambda_{1\dots n} > 0\)

  • 负定：\(\forall \ \alpha \ne \textbf{0}, \ \alpha^T\text{A}\alpha < 0\)，则称 \(f\) 是负定二次型，\(\text{A}\) 是负定矩阵

    \(f\) 负定 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 的 \(q = n\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A} \simeq -\text{I}_n\) \(\Leftrightarrow\) 存在可逆的 \(\text{P}\) 使得 \(\text{A} = -\text{P}^T\text{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A}\) 的 \(n\) 个特征值 \(\lambda_{1\dots n} < 0\)

  • 半正定：\(\alpha^T\text{A}\alpha \ge 0\)，且 \(\exists \ \alpha_0 \ne \textbf{0}, \ \alpha_0^T\text{A}\alpha_0 = 0\)，则称 \(f\) 是半正定二次型，\(\text{A}\) 是半正定矩阵

    \(f\) 半正定 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 的 \(p = r\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A} \simeq \text{diag}(\text{I}_r, \textbf{O})\) \(\Leftrightarrow\) 存在不可逆的 \(\text{P}\) 使得 \(\text{A} = \text{P}^T\text{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(\lambda_{1\dots n} \ge 0\) 且 \(\exists \ \lambda_i = 0\)

  • 半负定：\(\alpha^T\text{A}\alpha \le 0\)，且 \(\exists \ \alpha_0 \ne \textbf{0}, \ \alpha_0^T\text{A}\alpha_0 = 0\)，则称 \(f\) 是半负定二次型，\(\text{A}\) 是半负定矩阵

    \(f\) 半负定 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 的 \(q = r\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{A} \simeq \text{diag}(-\text{I}_r, \textbf{O})\) \(\Leftrightarrow\) 存在不可逆的 \(\text{P}\) 使得 \(\text{A} = -\text{P}^T\text{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(\lambda_{1\dots n} \le 0\) 且 \(\exists \ \lambda_i = 0\)

  • 不定型：\(\exists \ \alpha_0 \ne \textbf{0}, \ \alpha_0^T\text{A}\alpha_0 > 0\)，同时 \(\exists \ \beta_0 \ne \textbf{0}, \ \beta_0^T\text{A}\beta < 0\)，则称 \(f\) 是不定型，即 \(f\) 不是有定的

• 正定矩阵的性质：设二次型 \(x^T\text{A}x\) 正定，则有

  • \(\text{A}\) 的主对角元素 \(a_{ii} > 0\)（\(i = 1, \dots, n\)）
  • \(\text{A}\) 的行列式 \(|\text{A}|= \lambda_1\cdots \lambda_n > 0\)

• "二次型种类" 与 "顺序主子式"：

  • 二次型 \(x^T\text{A}x\) 正定 \(\Leftrightarrow\) 各阶顺序主子式 \(\det (\text{A}_k) > 0\)（\(k = 1, \dots, n\)）
  • 二次型 \(x^T\text{A}x\) 负定 \(\Leftrightarrow\) 奇数阶顺序主子式 \(\det (\text{A}_{2k-1}) < 0\)，偶数阶顺序主子式 \(\det (\text{A}_{2k}) > 0\)
  • 二次型 \(x^T\text{A}x\) 半正定 \(\Leftrightarrow\) 各阶顺序主子式 \(\det (\text{A}_k) \ge 0\)，且 \(\exists \ \det({\text{A}_i}) = 0\)
  • 二次型 \(x^T\text{A}x\) 半负定 \(\Leftrightarrow\) 各阶顺序主子式 \(\det (\text{A}_k) \le 0\)，且 \(\exists \ \det({\text{A}_i}) = 0\)