『linear algebra-5』inner product space

内积空间

本篇是对高等代数中"内积空间"的定义、性质、定理以及计算方法的速记，不涉及严密的推导证明。

一、$n$ 维内积与欧氏空间

• 内积定义：设 $\alpha =(a_1,\dots ,a_n{)}^T,\beta =(b_1,\dots ,b_n{)}^T\in {\mathbb{R}}^n$，定义内积 $(\alpha ,\beta )={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha =\sum a_i{b}_i$
• 内积运算性质：
  • 对称性：$(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha )$
  • 线性加法：$(\alpha +\beta ,\gamma )=(\alpha ,\gamma )+(\beta +\gamma )$
  • 线性数乘：$(k\alpha ,\beta )=k(\alpha ,\beta )$，$k\in \mathbb{R}$
  • 正定性：$(\alpha ,\alpha )\ge 0$，且 $(\alpha ,\alpha )=0\iff \alpha =0$
• 向量的几何性质：用内积定义
  • 向量的长度：$||\alpha ||=\sqrt{(\alpha ,\alpha )}$
  • 向量间的夹角：$<\alpha ,\beta >=\arccos {\displaystyle \frac{(\alpha ,\beta )}{||\alpha ||\cdot ||\beta ||}}$
• $\text{Cauchy-Schwarz}$ 不等式：$|(\alpha ,\beta )|\le ||\alpha ||\cdot ||\beta ||$
• 三角不等式：$||\alpha +\beta ||\le ||\alpha ||+||\beta ||$；当 $\alpha \mathrm{\perp }\beta$ 时 $||\alpha +\beta |{|}^2=||\alpha |{|}^2+||\beta |{|}^2$（勾股定理）
• 欧氏空间：定义了内积运算的 $n$ 维实向量空间称为 $n$ 维欧氏空间，记作 ${\mathbb{R}}^n$

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二、$$ 正交化

• 标准正交基：设 $$，若有 $$ 则称 $$ 是 $$ 的一组标准正交基

• "正交基" 与 "线性相关性"：$$ 中两两正交且不含零向量的向量组是线性无关的

• 施密特正交化：借助线性无关的 $$ 构造一组标准单位正交基 $$，步骤如下

  • 迭代开始：初始时直接令 $$

  • 迭代过程：取 $$，令 $$，其中 $$

    解得 $$，$$，即使得任意 $$ 之间都正交

  • 标准化：取 $$，即把 $$ 的长度全部化作 1，算法结束

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三、正交矩阵

• 实正交矩阵的定义：设 $$，如果 $$，则称 $$ 为实正交阵

  $$ 的列分块表示为 $$，$$ $$ $$

• "正交"从何而来：$$ 的行（列）向量组是单位正交向量组

• 正交矩阵的性质：

  • 行列式值的绝对值为 1：$$
  • 逆阵 等于 转置阵：$$，可用于快速求逆；且 $$ 和 $$ 也是正交阵
  • 乘积保持正交：若 $$ 是正交阵，则有 $$ 是正交阵

• "正交变换" 与 "几何度量"：正交变换不改变向量的长度、向量间内积、向量间夹角，即

  • $$
  • $$
  • $$