『linear algebra-3』linear space
线性空间
本篇是对高等代数中"线性空间"的性质、定理以及计算方法的速记，不涉及严密的推导证明。
一、列向量
数域与向量：数域一般记作 \(\text{K}\)，\(\text{K}\) 上的 \(n\) 维列向量 \(v\) 满足 \(v \in \text{K}^n\)（行向量一般记作 \(\text{K}_n\)）
向量的运算规则：针对 加法 和 数乘 两种运算，满足以下八条性质；设向量 \(\alpha, \beta, \gamma \in \text{K}^n\)，\(k, l \in \text{K}\)
- 加法交换律：\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)
- 加法结合律：\(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\)
- 存在零向量：\(\alpha + \textbf{0} = \alpha\)
- 存在负向量：\(\alpha + (\textbf{-}\alpha) = 0\)
- 存在单位元：\(\textbf{1} \cdot \alpha = \alpha\)
- （对数字的）数乘分配律：\((k + l) \cdot \alpha = k\cdot \alpha + l \cdot \alpha\)
- （对向量的）数乘分配律：\(k \cdot (\alpha + \beta) = k \cdot \alpha + k \cdot \beta\)
- 数乘结合律：\(k(l \cdot \alpha) = (kl) \cdot \alpha\)
线性空间的定义：设 \(\text{K}\) 为数域，\(\text{V}\) 为非空向量集合，若同时满足：
- 存在一个加法运算：\(+: \text{V} \times \text{V} \rightarrow \text{V}\)，即 \((\alpha, \beta) \vdash \alpha + \beta\)
- 存在一个数乘运算：\(\cdot : \text{K} \times \text{V} \rightarrow \text{V}\)，即 \((k, \alpha) \vdash k \cdot \alpha\)
且以上两种运算同时满足八条性质，则称 \(\text{V}\) 为 \(\text{K}\) 上的线性空间
二、线性空间
线性组合：设 \(\text{V}\) 是数域 \(\text{K}\) 上的线性空间，\(\alpha_1, \dots , \alpha_n, \beta \in \text{V}\)；若存在 \(k_1, \dots , k_n \in \text{K}\)，使 \(\beta = k_1\alpha_1 + \dots + k_n \alpha_n\)，则称 \(\beta\) 是 \(\alpha_1, \dots \alpha_n\) 的线性组合（线性表示）
线性相关：设 \(\text{V}_\text{K}\) 是线性空间，\(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \text{V}\)，若存在 \(\text{K}\) 中不全为 0 的 \(n\) 个数 \(k_1, \dots, k_n\)，使 \(k_1\alpha_1 + \dots + k_n\alpha_n = \textbf{0}\)，则称 \(\alpha_1, \dots , \alpha_n\) 线性相关
线性无关：上述定义的对立命题，即 \(k_1\alpha_1 + \dots + k_n\alpha_n = \textbf{0} \Leftrightarrow k_1 = \dots = k_n = \textbf{0}\)
或有等价定义：若 \(k_1\alpha_1 + \dots + k_n \alpha_n = 0 \Rightarrow k_1 = \dots = k_n = \textbf{0}\)，说明 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 线性无关
注意："是否线性相关"依赖于数域 \(\text{K}\) 的取值，比如 \(\{1, \sqrt{-1}=i\}\) 在实数域上无关，但在复数域上相关
"扩张相关" 与 "缩减无关"：设 \(1 \le m \le n\)
- 若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 线性相关，则扩张后的 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m, \dots \alpha_n \}\) 也线性相关
- 若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m, \dots, \alpha_n\}\) 线性无关，则缩减后的 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 也线性无关
"线性相关" 与 "线性组合"：设 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \text{V}\)，则 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(\alpha_i\) 是其余向量的线性组合
"线性无关" 与 "线性组合"：设 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta \in \text{V}\)，且 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 是线性无关的，则只可能存在以下两种情况
- \(\alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta\) 也线性无关（新加入的 \(\beta\) 与之前的 \(\alpha_i\) 都无关）
- \(\beta\) 是 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 的线性组合（也就线性相关）
线性表示的唯一性：设 \(\alpha_1, \dots,\alpha_n, \beta \in \text{K}\)，且 \(\beta\) 是 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 的线性组合，即 \(\beta = k_1\alpha_1 + \dots + k_n \alpha_n\)
则有：线性表示唯一（\(k_1, \dots, k_n\) 取值唯一）\(\Leftrightarrow\) \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 线性无关
线性组合的传递性：设 \(\text{A} = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}\) 中任意向量可以写成 \(\text{B} = \{\beta_1, \dots, \beta_r\}\) 中向量的线性组合，且 \(\text{B}\) 中任意向量可以写成 \(\text{C} = \{\gamma_1, \dots, \gamma_s\}\) 中向量的线性组合，那么 \(\text{A}\) 中任意向量可以写成 \(\text{C}\) 中向量的线性组合
几个例子：
- 设 \(\text{A} = \{\alpha\}\)，则 \(\text{A}\) 线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha \ne 0\)，即零向量一定是线性相关的
- 设 \(\alpha, \beta \in \text{K}_n\)，则 \(\alpha, \beta\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha, \beta\) 逐元素成比例
- \(\overrightarrow{\text{OA}}\)，\(\overrightarrow{\text{OB}}\) 是平面上两个线性相关的向量 \(\Leftrightarrow\) \(\text{O, A, B}\) 三点共线（否则构成平面三角形）
- \(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}, \overrightarrow{\text{OC}}\) 是空间内三个线性相关的向量 \(\Leftrightarrow\) \(\text{O, A, B, C}\) 四点共面（否则张成空间四面体）
三、向量组的秩
向量组 与 向量族：
- 向量组：\(\text{V}\) 的一个有限子集（元素可重复）
- 向量族：\(\text{V}\) 的一个子集，可无限大（元素可重复）
极大线性无关组：设 \(\text{S}\) 是 \(\text{V}\) 的向量族，若存在 \(\text{S}\) 中的向量组 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\)，同时满足以下两个条件：
- \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 是线性无关的
- \(\text{S}\) 中任意向量都是 \(\alpha_1, \dots, \alpha_r\) 的线性组合
则称 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 是 \(\text{S}\) 的极大线性无关组；向其中加入任意向量，都会让 \(r+1\) 个向量线性相关
设 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 为向量组，若 \(\text{A}\) 线性无关，且 \(\text{A}\) 中任一向量都是 \(\text{B}\) 中向量的线性组合，则 \(\#\text{A} \le \#\text{B}\)
若更大的向量组 \(\text{A}\) 中向量都可用较小的向量组 \(\text{B}\) 线性表示，那么 \(\text{A}\) 肯定是线性相关的（上述逆否命题）
向量族的秩：\(\text{S}\) 中 极大无关组中的向量个数 称为 \(\text{S}\) 的秩，记作 \(\text{r(S)}\)；规定 \(\{\textbf{0}\}\) 的秩为 0
等价向量组：设 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 是向量组，若 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 中向量可相互表示，则称 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 是等价的
且有：等价向量组有相同的秩
基与维度：设 \(\text{V}_{\text{K}}\) 为线性空间，若存在 \(\text{V}\) 中线性无关的向量组 \(\{e_1, \dots, e_n\}\)，使 \(\text{V}\) 中任意向量都是该无关组的线性组合
则称 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是一组基，维度 \(\text{dim}(\text{V}) = n\)
注意：\(n\) 维线性空间 \(\text{V}\) 中，超过 \(n\) 个向量的向量组一定线性相关
基的判定条件：设 \(\text{V}\) 为 \(n\) 维线性空间，\(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是空间中的向量组，若满足以下其中一个条件
- \(e_1, \dots, e_n\) 线性无关
- \(\text{V}\) 中任意向量都是 \(e_, \dots e_n\) 的线性组合
那么 \(\{e_1, \dots , e_n\}\) 是 \(\text{V}\) 的一组基
基扩张定理：设 \(\text{V}\) 是 \(n\) 维线性空间，\(\{v_1, \dots, v_m\}\)（\(m \le n\)）为线性无关向量，\(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是 \(\text{V}\) 的一组基
则 \(\{v_1, \dots, v_m, e_1, \dots, e_{n-m}\}\) 是 \(\text{V}\) 的一组新的基（其中 \(\{e_1, \dots, e_{n-m}\}\) 可以任意选取）
四、矩阵的秩
行秩和列秩：设 \(\text{A}\) 为 \(m\times n\) 矩阵
- 行分块 与 行秩：行分块为 \(\text{A} = (\alpha_1, \dots, \alpha_m)^T\)，\(\{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 的秩为行秩
- 列分块 和 列秩：列分块为 \(\text{A} = (\beta_1, \dots, \beta_n)\)，\(\{\beta, \dots, \beta_n\}\) 的秩为列秩
矩阵的行秩和列秩在初等变换下保持不变
初等行变换不改变矩阵列向量组极大无关组的列指标：设 \(\text{A}_{m\times n} = (\beta_1, \dots, \beta_n)\)，且 \(\text{Q}_{n\times n}\) 为 \(n\) 阶非异阵
若 \(\{\beta_{i_1}, \dots, \beta_{i_r}\}\) 是 \(\text{A}\) 列向量组的极大无关组，那么 \(\{\text{Q}\beta_{i_1}, \dots, \text{Q}\beta_{i_r}\}\) 是 \(\text{QA}\) 列向量的极大无关组
矩阵的秩：矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩，记作 \(\text{rank(A)}\)
由"矩阵的行秩和列秩在初等变换下保持不变"，矩阵的秩在初等变换下保持不变，即 \(\text{r(PAQ)}=\text{r(A)}\)
初等变换 求解 \(\text{A}_{m\times n}\) 的 秩 和 列向量极大无关组：
- 用初等行变换将 \(\text{A}\) 化为阶梯型矩阵 \(\text{B}\)，得到各阶梯点 \(b_{1k_1}, \dots, b_{rk_r}\)（\(1 \le k_1 \lt \dots \lt k_r \le n\)）
- 直接得到 \(\text{A}\) 的 秩 为 \(\text{r(A)}\)（即阶梯型矩阵的非零行个数）
- 由初等行变换不改变 \(\text{A}\) 列向量极大无关组的列指标，极大无关组 即为 \(\{\beta_{k_1}, \dots, \beta_{k_r}\}\)
初等变换 求解 列（行）向量组的秩和线性相关性：
- 先将列向量组拼成一个大矩阵；行向量转置后当成列向量同理
- 按上面方法求解 \(\text{r(A)}\)，即列向量组的秩
- 若 \(\text{r(A)}\) 等于向量组的秩，则线性无关，否则线性相关
初等变换 求解 列（行）向量组的极大无关组：
- 先将列向量组拼成一个大矩阵；行向量转置后当成列向量同理
- 按"初等变换求解矩阵列向量极大无关组"的方式求解列向量极大无关组
秩 与 相抵标准型的关系：
- 矩阵的秩 = 相抵标准型中非零元矩阵 \(\text{I}_r\) 的阶数 \(r\)，且 \(r\) 仅与 \(\text{A}\) 本身性质有关，与 \(\text{P,Q}\) 的选取无关
- 设 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 同阶，则有：\(\text{A} \sim \text{B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\text{r(A)} = \text{r(B)}\)
行满秩 与 列满秩：设 \(\text{A}_{m\times n}\)
- 行满秩：\(\text{r(A)} = m \Leftrightarrow m\) 个行向量线性无关
- 列满秩：\(\text{r(A)} = n \Leftrightarrow\) \(n\) 个列向量线性无关
注意：对于方阵 \(\text{A}_{n\times n}\)，$ = n $ 行列都满秩（行列向量都线性无关），且有 \(\text{r(A)} = n \Leftrightarrow \text{A}\) 可逆
子式判别法：设 \(\text{A}_{m\times n}\)，则有 \(\text{r(A)} = r \Leftrightarrow\) \(\text{A}\) 有一个 \(r\) 阶子式不等于 0，且所有 \(r + 1\) 阶子式都等于 0
两个关于秩的不等式结论：
设矩阵 \(\text{C}\) 满足以下形式之一： \[ \text{C} = \begin{bmatrix} \text{A} & \text{D} \\ \textbf{O} & \text{B} \end{bmatrix} 或 \begin{bmatrix} \text{A} & \textbf{O} \\ \text{D} & \text{B} \end{bmatrix} \] 则 \(\text{r(C)} \ge \text{r(A)} + \text{r(B)}\)
\(\text{Sylvester}\) 不等式：设 \(\text{A}_{m\times n}\)，\(\text{B}_{n\times p}\)，则有 \(\text{r(A)} + \text{r(B)} - n \le \text{r(AB)} \le \min(\text{r(A)}, \text{r(B)})\)
五、基变换与过渡矩阵
坐标向量：设 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(\text{V}\) 的一组基，可定义映射 \(\phi: \text{V} \vdash \text{K}^n\)，将 \(\alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\) 映射到向量 \((\alpha_1, \dots, \alpha_n)^T\)
则称 \((\alpha_1, \dots, \alpha_n)^T\) 是给定基 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 下 \(\alpha\) 的坐标向量
注意：可以证明，\(\phi\) 既是单射，又是满射，也即是一一对应（双射）
过渡矩阵：设 \(\text{V}\) 是 \(n\) 维线性空间，\(\{e_1, \dots, e_n\}\) 和 \(\{f_1, \dots, f_n\}\) 是两组基向量，总存在 \(a_{ij}\)，满足 \[ \begin{cases} f_1 = a_{11}e_1 + a_{21}e_2 + \dots + a_{n1}e_n \\ \qquad \dots \\ f_n = a_{1n}e_1 + a_{n1}e_2 + \dots + a_{nn}e_n \\ \end{cases} \] 则 \(e_i\) 前的系数矩阵构成 \(n\) 阶方阵的转置 \(\text{A} = (a_{ij})_{n\times n}\) 称为从基 \(e\) 到 基 \(f\) 的过渡矩阵
基变换：设基 \(e\) 到 基 \(f\) 的过渡矩阵为 \(\text{A}\)，则有 \((f_1, \dots, f_n) = (e_1, \dots, e_n)\text{A}\)
坐标变换：设 \(\alpha = \lambda_1e_1 + \dots + \lambda_n e_n = \mu_1f_1 + \dots + \mu_n f_n\)，写成向量点乘形式为： \[ \alpha = (e_1, \dots, e_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = (f_1, \dots, f_n) \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} \] 把 \((f_1, \dots, f_n) = (e_1, \dots, e_n)\text{A}\) 代入可得： \[ \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}= \text{A}\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} \] 即新坐标左乘过渡矩阵可得到旧坐标
过渡矩阵的传递性：设从基 \(e\) 到基 \(f\) 的过渡矩阵为 \(\text{A}\)，从基 \(f\) 到基 \(g\) 的过渡矩阵为 \(\text{B}\)
- \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 是过渡矩阵，即任何过渡矩阵都是非异阵
- 从基 \(e\) 到（基 \(f\) 再到）基 \(g\) 的过渡矩阵为 \(\text{AB}\)（直接相乘）
求解两组 3 维基 \(f\) 和 基 \(g\) 之间的过渡矩阵 \(\text{X}\) ：先给出 \(\{e_1=(1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3=(0, 0, 1)\}\)
- 直接写出从单位基 \(e\) 到 \(f\) 的过渡矩阵 \(\text{A}\)：把 基\(f\) 的列向量排成方阵即可
- 同理得到从单位基 \(e\) 到 \(g\) 的过渡矩阵 \(\text{B}\)：把 基\(g\) 的列向量排成方阵即可
- 由过渡矩阵传递性 \(\text{AX} = \text{B}\)，可知 \(\text{X} = \text{A}^{-1}\text{B}\)，用初等行变换求得 \((\text{A} | \text{B}) \rightarrow (\text{I}_3 | \text{A}^{-1}\text{B})\)
六、子空间
子空间的定义：设 \(\text{V}_0\) 是线性空间 \(\text{V}\) 的非空子集，若 \(\forall \ \alpha, \beta \in \text{V}_0\)，\(\forall \ k \in \text{K}\)，都满足以下两条性质：
- 对加法封闭：\(\alpha + \beta \in \text{V}_0\)
- 对数乘封闭：\(k \cdot \alpha \in \text{V}_0\)
则称 \(\text{V}_0\) 是 \(\text{V}\) 的线性子空间，且上述加法和数乘满足线性运算的 8 条性质
平凡子空间：零子空间 \(\{0_{\text{V}}\}\) 和 全子空间（\(\text{V}\) 自己）
子空间的维数：设 \(\text{V}_0\) 是 \(n\) 维线性空间 \(\text{V}\) 的子空间，则有 \(0 \le \dim_{\text{V}_0} \le n\)
和空间和交空间：设 \(\text{V}_1\) 和 \(\text{V}_2\) 是 \(\text{V}\) 的子空间
- 和空间：\(\text{V}_1 + \text{V}_2 = \{\alpha + \beta \ | \ \alpha \in \text{V}_1, \beta \in \text{V}_2 \}\)（各取一个向量求和）
- 交空间：\(\text{V}_1 \cap \text{V}_2 = \{\alpha \ | \ \alpha \in \text{V}_1, \alpha \in \text{V}_2 \}\)（同时在两个子空间的向量）
和空间 与 交空间 都是 \(\text{V}\) 的子空间
注意：上述定义可以推广到 更多 的子空间上，如 \(\text{V}_1 + \dots + \text{V}_m\)，\(\text{V}_1 \cap \dots \cap \text{V}_m\)
维度公式：设 \(\text{V}_1, \text{V}_2\) 是 \(\text{V}\) 的线性子空间，则有 \(\dim(\text{V}_1 + \text{V}_2) = \dim(\text{V}_1) + \dim (\text{V}_2) - \dim (\text{V}_1 \cap \text{V}_2)\)
生成子空间：设 \(\text{S} \in \text{V}\) 是非空子集，记 \(\text{L(S)}\) 是 \(\text{S}\) 中向量所有可能的线性组合构成的向量集合，则 \(\text{L(S)}\) 是 \(\text{S}\) 的生成子空间
- 闭包性：\(\text{L(S)}\) 是包含 \(\text{S}\) 的 \(\text{V}\) 中的最小子空间
- 子空间与闭包：设 \(\text{S}\) 的极大无关组 \(\{\alpha_, \dots, \alpha_r\}\)，则 \(\text{L(S)} = \text{L}(\alpha_1, \dots, \alpha_r)\)，且 \(\dim (\text{L(S)}) = \text{r(S)} = r\)
直和：设 \(\text{V}_i\)（\(1 \le i \le m\)）为 \(\text{V}\) 的子空间，且对 \(\forall \ 1 \le i \le m\)，都有 \(\text{V}_i \cap (\text{V}_1 + \dots + \text{V}_{i-1} + \text{V}_{i+1} + \dots + \text{V}_m) = 0\) 成立
则称 \(\text{V}_1 + \dots + \text{V}_m\) 为直和（比"和空间"条件更强），记作 \(\text{V}_1 \oplus \dots \oplus \text{V}_m\)
关于"直和"的等价结论：设 \(\text{V}_{1\dots m}\) 是 \(\text{V}\) 的子空间，记 \(\text{V}_0 = \text{V}_1 + \dots + \text{V}_m\)，有以下等价三结论
- \(\text{V}_0 = \text{V}_1 \oplus \dots \oplus \text{V}_m\)（满足直和条件）
- \(\dim(\text{V}_1 + \dots + \text{V}_m) = \dim(\text{V}_1) + \dots + \dim(\text{V}_m)\)（维度可以直接相加）
- 每个 \(\text{V}_i\) 中拿出一组基，拼在一起可以得到 \(\text{V}_0\) 的一组基
七、线性方程组的解
方程组有解的判定定理：设线性方程组为 \(\text{A}x = \beta\)，\(\text{A}\) 的增广矩阵 \(\tilde{\text{A}} = (\text{A} \ | \ \beta)\)，未定元数量为 \(n\)
- 若 \(\text{r(A)} = \text{r}(\tilde{\text{A}}) = n\)，则方程组有唯一解
- 若 \(\text{r(A)} = \text{r}(\tilde{\text{A}}) < n\)，则方程组有无穷多组解
- 若 \(\text{r(A)} \ne \text{r}(\tilde{\text{A}})\)，则方程组无解（即系数矩阵和增广矩阵的秩决定了是否有解）
齐次线性方程组的结构定理：设齐次线性方程组为 \(\text{A}x = \textbf{0}\)，其解空间为 \(\text{V}_\text{A}\)，则有 \(\dim(\text{V}_\text{A}) = n - \text{r(A)}\)
即必存在一组解空间的基 \(\{\eta_1, \dots, \eta_{n-r}\}\)（基础解系），使得 \(\text{A}x = \textbf{0}\) 的所有解都是该组基的线性组合
注意：由上述结论可知，若 \(\text{A}\) 可逆，则 \(\dim(\text{A}_\text{A}) = 0\)，即 \(\text{A}x = \textbf{0}\) 只有零解
"求解方程组"的标准型：通过初等行变换以及列对换可将 \(\text{A}\) 转化为解方程组标准型，形式如下 \[ \text{A}_{n\times n} \rightarrow \begin{bmatrix} \text{I}_r & \text{C}_{r\times(n-r)} \\ \textbf{O} & \textbf{O} \end{bmatrix} \] 可见上述标准型为"阶梯型"矩阵；化成上述"标准型"的简单步骤：设行分块 \(\text{A} = (\alpha_1, \dots, \alpha_m)^T\)
初等行变换：先计算 \(\text{A}\) 行向量组的极大无关组，并将组里的 \(r\) 个向量通过行对换调整到 \(\text{A}\) 的前 \(r\) 行
再通过第三类初等行变换消去其余行，得到 \(\text{A} = (\alpha_1, \dots, \alpha_r, \textbf{O})^T\)，并记 \(\text{A}_1 = (\alpha_1, \dots, \alpha_r)^T\)
列对换：先计算 \(\text{A}_1\) 列向量组的极大无关组，并将组里的 \(r\) 个向量通过列对换调整到 \(\text{A}_1\) 的前 \(r\) 列
从而将 \(\text{A}_1\) 化作 \((\text{B}_{r\times r}, \text{U}_{r\times(n-r)})\) 的形式，再通过初等行变换将 \(\text{B}\) 化成 \(\text{I}_r\)，同时有 \(\text{A}_1 \rightarrow (\text{I}_r, \text{C})\)，结束
结构定理：设 \(\text{r(A)} = \text{r}(\tilde{\text{A}}) = r\)（保证有解），\(\gamma\) 是 \(\text{A}x = \beta\) 的特解，\(\{\eta_1, \dots, \eta_{n-r}\}\) 是 \(\text{A}x = \textbf{0}\) 的基础解系
则原线性方程组 \(\text{A}x = \beta\) 的 通解 形式为 \(\gamma + k_1\eta_1 + \dots + k_{n-r}\eta_{n-r}\)（\(k_i \in \text{K}\)）
基础解系的求法：先把 \(\text{A}\) 化成解方程组的标准型，再不妨令 \(x_{r+i} = 0, x_{\gt r \wedge \ne r+i} = 1\)，得到 \(\eta_i\)（\(i \ge 1\)）
比如设 \(\text{C}\) 的第 1 列 \(\text{C}_1 = (c_{11}, \dots, c_{r1}, \textbf{0})^T\)，则 \(\eta_1 = (-c_{11}, \dots, -c_{r1}, 1, 0, \textbf{0})^T\)
比如设 \(\text{C}\) 的第 2 列 \(\text{C}_2 = (c_{12}, \dots, c_{r2}, \textbf{0})^T\)，则 \(\eta_2 = (-c_{12}, \dots, -c_{r2}, 0, 1, \textbf{0})^T\)，其余依此类推
原方程特解的求法：将 \(\text{A}\) 化成解方程组的标准型后，常数列自然就是 \((\gamma, \textbf{0})^T\)
求解线性方程组 \(\text{A}x = \beta\) 的通用方法：
判断是否有解：通过初等行变换将 \(\tilde{\text{A}} = (\text{A} \ | \ \beta)\) 化作阶梯型矩阵，若 \(\text{r(A)} \ne \text{r}(\tilde{\text{A}})\) 说明无解
按上述方法，对 \((\text{A} \ | \ \beta)\) 实施初等行变换和列对换得到"解方程组"的标准型，形式如下 \[ \begin{bmatrix} \text{I}_r & \text{C}_{r\times (n-r)} \ | \ \gamma \\ \textbf{O} & \textbf{O} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \ \textbf{0} \end{bmatrix} \] 从而初步得到特解 \((\gamma, \textbf{0})^T\)，基础解系 \(\eta_1, \dots, \eta_{n-r}\)
根据之前列对换的情况，调整各个未定元值分量，最终得到原方程组的特解和基础解系
比如之前第 1 列 和 第 3 列对换过，则特解的第 1 元 与 第 3 元值对换，同理基础解系各向量的第 1 元 与 第 3 元值也对换
依照结构定理写出 \(\text{A}x = \beta\) 的通解
注意：对于齐次方程组 \(\text{A}x = \textbf{0}\)，解空间过过线性空间原点；对于非齐次方程组 \(\text{A}x = \beta\)，解空间的所有向量都偏离原点 \(\gamma\)