『linear algebra-2』matrix
矩阵
本篇是对高等代数中"矩阵"的性质、定理以及计算方法的速记，不涉及严密的推导证明。
一、矩阵的运算性质
数乘性质：
- 数分配律：\((c + d) \cdot \text{A} = c \cdot \text{A} + d \cdot \text{A}\)
- 矩阵分配律：\(c \cdot (\text{A} + \text{B}) = c\cdot \text{A} + c \cdot \text{B}\)
- 数乘分配律：\((cd) \cdot \text{A} = c \cdot (d\cdot \text{A})\)
矩阵乘法：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m\times k}\)，\(\text{B} = (b_{ij})_{k\times n}\)，\(\text{A}\) 与 \(\text{B}\) 的乘积 \(\text{C}_{m\times n}\) 是 \(m \times n\) 阶矩阵，其元素 \(c_{ij} = \sum_{r=1}^k a_{ir}b_{rj}\)
- \(\text{A}\) 的列数 = \(\text{B}\) 的行数
- \(\text{AB}\) 的行数 = \(\text{A}\) 的行数；\(\text{AB}\) 的列数 = \(\text{B}\) 的列数
- 矩阵乘法一般不满足交换律，即 \(\text{AB} \ne \text{BA}\)
注意：设 \(\text{A}_{m\times n} \text{B}_{n\times p} \text{C}_{p\times q}\)，其第 \((i, j)\) 元素表示为 \(\sum_{k = 1}^n \sum_{r=1}^{p} a_{ik} b_{kr} c_{rj}\)，其中插入两个循环指标 \(k, r\)
乘法性质：设矩阵 \(\text{A}_{m\times n}\)
- 结合律：\(\text{(AB)C} = \text{A(BC)}\)，即支持任意加括号
- 分配律：\(\text{(A + B)} \text{C} = \text{AC} + \text{BC}\)；\(\text{A} (\text{B + C}) = \text{A} \text{B} + \text{A} \text{C}\)
- 与数值相乘：\(c \cdot (\text{AB}) = (c \cdot \text{A})\text{B} = \text{A} (c\text{B})\)
- 存在单位元：总有 \(\text{I}_m \text{A} = \text{A} = \text{A} \text{I}_n\)
注意：对于方阵，其自己可以与自己相乘；能与自己相乘的矩阵一定是方阵，记 \(\text{A}^k = \text{A} \cdots \text{A}\)（乘方定义）
乘方性质：仅当 \(\text{A}\) 是一个方阵，才能在 \(\text{A}\) 上定义乘方运算
- \(\text{A}^r \text{A}^s = \text{A}^{r+s}\)，\((\text{A}^r)^s = \text{A}^{rs}\)
- 若 \(\text{AB} = \text{BA}\)，则有 \((\text{AB})^r = \text{A}^r\text{B}^r\)，同时有二项式定理 \((\text{A} + \text{B})^{m} = \text{A}^m + \text{C}_{m}^1\text{A}^{m-1}\text{B} + \dots + \text{C}_{m}^{m-1}\text{AB}^{m-1} + \text{B}^m\)
- 即便 \(\text{AB} = \text{AC}\) 且 \(\text{A} \ne 0\)，也无法推出 \(\text{B} = \text{C}\)（不满足乘法消去律，除非 \(\text{A}\) 可逆）
- 即便 \(\text{A} \ne 0\) 且 \(\text{B} \ne 0\)，也无法推出 \(\text{AB} \ne 0\)（除非 \(\text{A}\) 可逆且 \(\text{B} \ne 0\)）
矩阵转置：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m\times n}\)，其转置 \(\text{A}^T = (b_{ij})_{n \times m}\) 是 \(n \times m\) 阶矩阵，且满足 \(b_{ij} = a_{ji}\)
- 对称阵 和 反对称阵：\(\text{A}^T = \text{A}\) 说明 \(\text{A}\) 是对称阵，\(\text{A}^T = -\text{A}\) 说明 \(\text{A}\) 是反对称阵（差个负号）
- \((\text{A} + \text{B})^T = \text{A}^T + \text{B}^T\)，\((c\text{A})^T = c \cdot \text{A}^T\)，\((\text{A}^T)^T = \text{A}\)
- \((\text{AB})^T = \text{B}^T\text{A}^T\)，即乘法拆开后顺序要反转
共轭矩阵：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m\times n}\) 是复矩阵，其共轭 \(\overline{\text{A}} = (\overline{a_{ij}})_{m\times n}\)
- \(\overline{\text{A} + \text{B}} = \overline{\text{A}} + \overline{\text{B}}\)，\(\overline{\text{A} \cdot \text{B}} = \overline{\text{A}} \cdot \overline{\text{B}}\)（加法乘法直接拆开不换序）
- \(\overline{c \text{A}} = \overline{c} \overline{\text{A}}\)，\(\overline{\text{A}}^T = \overline{\text{A}^T}\)，\(\overline{\overline{\text{A}}} = \text{A}\)
二、矩阵的逆
逆方阵的定义：设 \(\text{A}\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在 \(n\) 阶方阵 \(\text{B}\)，使得 \(\text{AB} = \text{BA} = \text{I}_n\)，则记 \(\text{B} = \text{A}^{-1}\) 为 \(\text{A}\) 的逆矩阵
可逆 与 不可逆：若 \(\text{A}\) 存在逆阵 \(\text{A}^{-1}\)，记 \(\text{A}\) 是可逆（非奇异）的，否则是不可逆（奇异）的
"可逆"只是针对方阵讨论的，若 \(m \ne n\) 说明一定不可逆
逆阵的性质：设 \(\text{A}\) 为 \(n\) 阶方阵
若 \(\text{A}\) 可逆，则逆阵一定唯一，且 \((\text{A}^{-1})^{-1} = \text{A}\)
若 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 可逆，则 \(\text{AB}\) 也可逆，且 \((\text{AB})^{-1} = \text{B}^{-1}\text{A}^{-1}\)（乘法拆开后顺序要反转）
注意：设 \(\text{A}_1 \dots \text{A}_n\) 都可逆（\(m \ge 2\)），则 \((\text{A}_1\dots \text{A}_m)^{-1} = \text{A}^{-1}_m \dots \text{A}_1^{-1}\) 也可逆（上式推广）
若 \(\text{A}\) 可逆，且常数 \(c \ne 0\)，则 \(c\cdot \text{A}\) 仍可逆，且 \((c\text{A})^{-1} = c^{-1}\text{A}^{-1}\)
若 \(\text{A}\) 可逆，则 \(\text{A}^T\) 仍可逆，且 \((\text{A}^T)^{-1} = (\text{A}^{-1})^T\)，即 求逆 和 转置 运算可以交换次序
设 \(\text{A}\) 可逆，则有 \(\text{AB} = \text{AC} \Rightarrow \text{B} = \text{C}\)（两边左乘\(\text{A}^{-1}\)），\(\text{BA} = \text{CA} \Rightarrow \text{B} = \text{C}\)（两边右乘\(\text{A}^{-1}\)）
注意：由上述性质可知，若 \(\text{AB} = 0\)（或 \(\text{BA} = 0\)） 且 \(\text{A}\) 可逆，则 \(\text{B} = 0\)（可逆阵可被消去）
若 \(\text{A}\) 可逆，则 \(|\text{A}^{-1}| = |\text{A}|^{-1}\)
伴随矩阵：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{n\times n}\)，\(\text{A}_{ij}\) 是 \(a_{ij}\) 在 \(|\text{A}|\) 中的代数余子式，则 \(\text{A}\) 的伴随矩阵 \(\text{A}^*\) 形式如下 \[ \begin{align} \text{A}^{*} = \begin{bmatrix} \text{A}_{11} & \text{A}_{21} & \cdots & \text{A}_{n1} \\ \text{A}_{12} & \text{A}_{22} & \cdots & \text{A}_{n2} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \text{A}_{1n} & \text{A}_{2n} & \cdots & \text{A}_{nn} \end{bmatrix} \end{align} \] 注意其行列指标是按"转置"顺序排列的：第 1 行是 原阵第 1 列的伴随矩阵
设 \(\text{A}\) 是 \(n\) 阶方阵，则有 \(\text{AA}^{*} = \text{AA}^{*} = |\text{A}|\text{ I}_n\)
设 \(\text{A}\) 是 \(n\) 阶方阵，若 \(|\text{A}| \ne 0\)，则 \(\text{A}\) 可逆，由上面性质可知 \(\text{A}^{-1} = \dfrac{1}{|\text{A}|}\text{A}^{*}\)（伴随矩阵 / 行列式 求逆阵）
设 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(|\text{AB}| = |\text{A}||\text{B}|\)（乘积的行列式 = 行列式的乘积）
设 \(\text{A}\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(\text{A}\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|\text{A}| \ne 0\)，可推出可逆阵的乘积一定可逆
设 \(\text{A}_1, \dots, \text{A}_m\) 是 \(n\) 阶方阵，若其中存在一个是不可逆的，则乘积 \(\text{A}_1\dots\text{A}_m\) 一定是不可逆的
伴随矩阵的性质：设 \(\text{A}\) 是 \(n\) 阶方阵
- 伴随矩阵总是存在，且满足 \(\text{AA}^{*} = \text{A}^{*}\text{A} = |\text{A}|\text{ I}_n\)
- \((\text{A}^{*})^{*} = |\text{A}|^{n-2}\text{A}\)（\(n \ge 3\)）；当 \(n = 2\) 时 \((\text{A}^{*})^{*} = \text{A}\)
- \((\text{AB})^{*} = \text{B}^{*}\text{A}^{*}\)，即乘积拆开顺序要反转
- \((c\text{A})^{*} = c^{n-1}\text{A}^{*}\)（注意 \(n-1\) 次方）
- \(|\text{A}^{*}| = |\text{A}|^{n-1}\)（注意 \(n - 1\) 次方）
- \((\text{A}^T)^{*} = (\text{A}^{*})^T\)，即转置和伴随运算可交换
- \((\text{A}^{-1})^{*} = (\text{A}^{*})^{-1}\)，即求逆和伴随运算可交换
有关行列式性质的扩展：设 \(\text{A}\) 为 \(n\) 阶方阵，依矩阵运算性质有
- \(|c\text{A}| = c^n \text{A}\)，即每一行都提出一个公因子 \(c\)
- \(\overline{|\text{A}|} = |\overline{\text{A}}|\)，即 行列式 和 共轭 运算可交换顺序
三、矩阵初等变换
初等变换的种类：保持线性方程组解不变的矩阵变换
- 第一类初等变换：对换矩阵中的两行（两列）
- 第二类初等变换：矩阵的某行（某列）乘以非零常数
- 第三类初等变换：矩阵的某行（某列）乘以常数加到另一行（列）上
求解线性方程组的一般步骤：设 \(n\) 元线性方程组的系数矩阵为 \(\text{A}_{n\times n}\)，常数列为 \(b\)
- 写出线性方程组的增广矩阵 \(\tilde{\text{A}} = (\text{A } | \ b)\)
- 对 \(\tilde{\text{A}}\) 实施初等行变换，过程可表示为 \(\tilde{\text{A}} \rightarrow (\text{I}_n \ | \ \beta)\)，其中 \(\beta\) 是新的常数列
- 得到原方程组的解 \(x = \beta\)
矩阵相抵：若矩阵 \(\text{A}\) 可通过若干次初等行（列）变换变为矩阵 \(\text{B}\)，则称 \(\text{A}\) 相抵于 \(\text{B}\)，记作 \(\text{A} \sim \text{B}\)
相抵关系是等价关系："等价"指同时满足"自反性"、"对称性"、"传递性"的二元关系
- 自反性：对于任意矩阵 \(\text{A}\)，总有 \(\text{A} \sim \text{A}\)
- 对称性：若 \(\text{A} \sim \text{B}\)，则有 \(\text{B} \sim \text{A}\)
- 传递性：若 \(\text{A} \sim \text{B}\) 且 \(\text{B} \sim \text{C}\)，则有 \(\text{A} \sim \text{C}\)
相抵标准型：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m\times n}\)，则 \(\text{A}\) 必相抵于其相抵标准型，其形式如下所示 \[ \begin{bmatrix} \text{I}_r & \textbf{O} \\ \textbf{O} & \textbf{O} \end{bmatrix} \] 其中 \(0 \le r \le \min(m, n)\)；且 \(r\) 由 \(\text{A}\) 唯一确定，不随初等变换的选取而改变
阶梯型矩阵：阶梯点（非零行从左数第 1 个非零元）的列指标严格递增的矩阵，且零行必在最下方
- 设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m \times n}\)，则总可以通过初等行变换将 \(\text{A}\) 化为阶梯型矩阵
注意：由于非零元的列指标是严格递增的，故不存在高度 > 1 的台阶
初等阵：对单位方阵 \(\text{I}_n\) 实施一次三类初等行变换，得到的矩阵为三类初等阵
- 第一类初等阵：对 \(\text{I}_n\) 实施一次第一类初等行变换，即调换第 \(i\) 行和第 \(j\) 行得到 \(\text{P}_{ij}\)
- 第二类初等阵：对 \(\text{I}_n\) 实施一次第二类初等行变换，即对第 \(i\) 行乘以非零常数 \(c\) 得到 \(\text{P}_i\)
- 第三类初等阵：对 \(\text{I}_n\) 实施一次第三类初等行变换，即把第 \(i\) 行乘以常数 \(c\) 累加到第 \(j\) 行，得到 \(\text{T}_{ij}\)
注意：对 \(\text{A}\) 做一次初等行（列）变换 \(\Leftrightarrow\) 对 \(\text{A}\) 左（右）乘对应初等阵
初等阵的性质：矩阵 \(\text{A}\) 经过若干次初等变换可记作 \(\text{PAQ} = \text{P}_r \dots \text{P}_1 \text{A} \text{Q}_1\dots\text{Q}_s\)
- 初等阵都是可逆阵，且其逆阵为 \(\text{P}_{ij}^{-1} = \text{P}_{ij}\)，\(\text{P}_{i}^{-1}(c) = \text{P}_i(\dfrac{1}{c})\)，\(\text{T}^{-1}_{ij}(c) = \text{T}_{ij}(-c)\)
- \(|\text{P}_{ij}| = -1\)，\(|\text{P}_i(c)| = c\)，\(|\text{T}_{ij}(c)| = 1\)（可见第三类初等变换不改变行列式值）
- 初等变换不改变可逆性：非异阵经过初等变换仍为非异阵，奇异阵经过初等变换仍为奇异阵
有关可逆方阵的四条等价性质⭐：
矩阵 \(\text{A}\) 是非奇异阵
矩阵 \(\text{A}\) 的相抵标准型为 \(\text{I}_n\)
矩阵 \(\text{A}\) 可仅通过 初等行变换 或 初等列变换 得到 \(\text{I}_n\)（仅用行变换一般只能化到阶梯型）
也就是：设矩阵 \(\text{A}_{m\times n}\)，总存在 \(m\) 阶非异阵 \(\text{P}\)，\(n\) 阶非异阵 \(\text{Q}\)，使 \(\text{A}\) 变成相抵标准型 \(\text{PAQ}\)，即 \[ \text{A} \sim \text{I}_n = \text{PAQ} \]
矩阵 \(\text{A}\) 是若干个初等阵的乘积（可逆阵的分解）
使用初等行变换求方阵的逆：设方阵 \(\text{A} = (a_{ij})_{n \times n}\)，将 \(\text{A}\) 和 \(\text{I}_n\) 左右拼接成一个 \(n \times 2n\) 阶的矩阵，形式如下 \[ (\text{A } | \text{ I}_n) \xrightarrow{初等行变换} (\text{I}_n \ | \text{ A}^{-1}) \] 对左边大矩阵进行初等行变换，将左侧 \(n \times n\) 的部分化为 \(\text{I}_n\)，右侧 \(n \times n\) 的部分即为 \(\text{A}^{-1}\)
若只通过初等列变换得到逆阵，需要将 \(\text{A}\) 和 \(\text{I}_n\) 上下纵向堆叠得到 \(2n \times n\) 的大矩阵，再进行初等列变换得到 \(\text{A}^{-1}\)
注意：由可逆阵的第三条性质，可以仅通过初等变换得到 \(\text{I}_n\)，即 \(\text{A}^{-1} = \text{P}_r \dots \text{P}_2\text{P}_1 = \text{Q}_1\text{Q}_2\dots\text{Q}_s\)
基于初等变换解矩阵方程：设矩阵方程为 \(\text{A}_{n \times n}\text{X}_{n \times m} = \text{B}_{n \times m}\)，其中 \(\text{A}\) 可逆，可参照求逆阵的方式求解 \(\text{X}\) \[ (\text{A } | \text{ B})_{n \times (n+m)} \xrightarrow{初等行变换} (\text{I}_n \ | \text{ X}) \] 对左边大矩阵进行初等行变换，将左侧部分同样化为 \(\text{I}_n\)，右侧部分即为 \(\text{X} = \text{A}^{-1}\text{B}\)
注意：对于矩阵方程 \(\text{X}_{m\times n}\text{A}_{n \times n} = \text{B}_{m\times n}\)，将 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\) 上下堆叠得到 \((m+n) \times n\) 阶大矩阵，再做初等列变换得到 \(\text{X} = \text{BA}^{-1}\)
四、分块矩阵
分块矩阵的定义：将矩阵 \(\text{A}\) 分成 \(r\) 行，再将原矩阵分成 \(s\) 列，从而得到一个 \(r \times s\) 分块矩阵 \[ \text{A} = \begin{bmatrix} \text{A}_{11} & \text{A}_{12} & \cdots & \text{A}_{1s} \\ \text{A}_{21} & \text{A}_{22} & \cdots & \text{A}_{2s} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \text{A}_{r1} & \text{A}_{r2} & \cdots & \text{A}_{rs} \end{bmatrix} \] 其中 \(\text{A}_{ij}\) 称为 \(\text{A}\) 的第 \((i, j)\) 分块，尺寸为 \(m_i \times n_j\)；\(m_i\) 是 \(\text{A}\) 的行分块方式，\(n_j\) 是 \(\text{A}\) 的列分块方式
注意：一个矩阵虽然不是对角阵，其分块形式有可能是对角阵
分块矩阵乘积：设 \(\text{A} = (\text{A}_{ij})_{r\times s}\)，\(\text{B} = (\text{B}_{ij})_{s\times k}\)，且 \(\text{A}\) 的列分块方式 和 \(\text{B}\) 的行分块方式相同
定义分块阵 \(\text{C} = \text{AB} = (\text{C}_{ij})_{r\times k}\)。其中 \(\text{C}_{ij} = \sum_{r=1}^k \text{A}_{ir}\text{B}_{rj}\)
分块矩阵的转置：设 \(\text{A} = (\text{A}_{ij})_{r\times s}\)，则 \(\text{A}\) 的转置 \(\text{A}^T\) 是一个 \(s\times r\) 分块的矩阵，形式如下 \[ \text{A}^T = \begin{bmatrix} \text{A}^T_{11} & \text{A}^T_{21} & \cdots & \text{A}^T_{r1} \\ \text{A}^T_{12} & \text{A}^T_{22} & \cdots & \text{A}^T_{r2} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ \text{A}^T_{1s} & \text{A}^T_{2s} & \cdots & \text{A}^T_{rs} \end{bmatrix} \] 即分块大矩阵先转置，每个小分块再分别转置
分块矩阵求逆：设大分块矩阵为 \(\text{M}\)，形式如下 \[ \text{M} = \begin{bmatrix} \text{A}_{m\times m} & \text{B} \\ \text{C} & \text{D}_{n\times n} \end{bmatrix} \]
若 \(\text{A}\) 可逆，则 \(|\text{M}| = |\text{A}||\text{D} - \text{CA}^{-1}\text{B}|\)（顺时针旋转）
若 \(\text{D}\) 可逆，则 \(|\text{M}| = |\text{D}||\text{A} - \text{BD}^{-1}\text{C}|\)（顺时针旋转）
降阶公式：若 \(\text{A}\) 和 \(\text{D}\) 都可逆，联立上两式可得 \(|\text{A}||\text{D} - \text{CA}^{-1}\text{B}| = |\text{D}||\text{A} - \text{BD}^{-1}\text{C}|\)
也即：分解复杂大矩阵 \(\text{M} = \text{A} - \text{BD}^{-1}\text{C}\)，其中 \(m > n\)，这样问题就变成求解小行列式 \(\dfrac{1}{|\text{D}|} |\text{A}||\text{D} - \text{CA}^{-1}\text{B}|\)
五、Cauchy-Bint 公式
Cauchy-Bint 定理：设 \(\text{A} = (a_{ij})_{m\times n}\)，\(\text{B} = (b_{ij})_{n \times m}\)，则行列式 \(|\text{AB}|\) 的值按以下方式确定：
若 \(m > n\)，则 \(|\text{AB}| = 0\)（"高" 乘 "长" 必为 0）
若 \(m \le n\)，则 \(|\text{AB}|\) 是一个 \(m\) 阶行列式，其中 \(\text{A}(\dots)\) 和 \(\text{B}(\dots)\) 分别是 \(m\) 阶子式 \[ |\text{AB}| = \sum_{1 \le j_1 \lt \dots \lt j_m \le n} \text{A}\begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m \end{pmatrix} \text{ B}\begin{pmatrix}j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \\ \end{pmatrix} \] 即在 1 到 \(n\) 内取遍 \(m\) 个指标的组合
注意：\(m = n\) 的情形即为两个方阵相乘的特殊情况，列指标组合正好仅有一种情况