『signal and system-2』LTI
线性时不变系统（LTI）
一、线性时不变系统的定义
- 一个系统同时是线性且时不变的，全称是 Linear Time-Invariant system
- 研究 LTI 的意义：LTI 足够简单，如果已知一个 \(x(t) \rightarrow
y(t)\)，那么可以知道其它所有 \(x(t)
\rightarrow y(t)\)
- 研究线性系统的意义：现实世界中没有可以无限制放大输出信号倍数，无限制叠加输出信号的系统
- 研究时不变系统的意义：现实世界中没有可以永远不随时间改变输出的系统
二、离散 LTI 卷积
单位脉冲响应：记作 \(h[n]\)，定义为 \(\delta[n] \xrightarrow{LTI} h[n]\)，即单位脉冲序列经过 LTI 系统输出得到的信号
注意：单位脉冲响应 \(h[n]\) 唯一标识了一个 LTI；已知 \(h[n]\)，能够求出任意信号 x 输入该 LTI 输出的信号
列表法：计算时间复杂度为 \(O(N^2)\)
已知 \(h[n]\) 和输入 \(x[n]\)，求解卷积结果 \(x[n] * h[n]\)：设 \(h[n]\) 中 n 的取值范围是 -2 ~ 0，\(x[n]\) 中 n 的取值范围是 -1 ~ 2
确定 \(x[n] * h[n]\) 的左右取值边界：
卷积左边界 = \(x[n]\) 的左边界 + \(h[n]\) 的左边界 = -2 + -1 = -3
卷积右边界 = \(x[n]\) 的右边界 + \(h[n]\) 的右边界 = 0 + 2 = 2
注意：\(x[n]\) 取值长度为 \(N_1\)，\(h[n]\) 取值长度为 \(N_2\)，则卷积结果长度为 \(N_1 + N_2 - 1\)
列表法求解卷积结果：将输入信号 \(x[n]\) 的各取值依次与每一个 \(h[n]\) 的取值相乘，并依次右移一个单位 \[ \begin{vmatrix} h[n] & h[-2] & h[-1] & h[0] \\ x[-1] & x[-1] * h[-2] & x[-1] * h[-1] & x[-1] * h[0] \\ x[0] & & x[0] * h[-2] & x[0] * h[-1] & x[0] * h[0] \\ x[1] & & & x[1] * h[-2] & x[1] * h[-1] & x[1] * h[0] \\ x[2] & & & & x[2] * h[-2] & x[2] * h[-1] & x[2] * h[0] \\ \text{列求和} & o(-3) & o(-2) & o(-1) & o(0) & o(1) & o(2) \\ \end{vmatrix} \]
表格中各列求和即是输出信号中从左到右的取值，上表中各列的求和即为 -3 ~ 2 的值
注意：对于无穷范围的离散信号，同样可以使用列表法（无限延伸的表格），找规律求解
离散 LTI 卷积公式⭐：\(x[n] * h[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]\)，以下是证明过程 \[ \begin{align} &\text{由单位脉冲响应的定义可知 } \delta[n] \xrightarrow{LTI} h[n] \\ &\text{由LTI的时不变性可知 } \delta[n-k] \xrightarrow{LTI} h[n-k] \\ &\text{由LTI的齐次性可知 }x[k]\delta[n-k] \xrightarrow{LTI} x[k]h[n-k] \\ &\text{由LTI的叠加性可知 }\sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k] \xrightarrow{LTI} \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] \\ &\text{由已知推论 }x[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n-k]\text{ ，可知 } x[n] \xrightarrow{LTI} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] \\ &\text{由卷积运算的定义，}x[n]*h[n] = \sum_{k=-\infty}^{ +\infty} x[k]h[n-k]\text{ ，证毕。} \end{align} \]
确定 \(x[n] * h[n]\) 的左右取值边界，该步骤与列表法完全一样
翻转 \(h[n]\)，再依次平移 \(h[-n]\) 与 \(x[n]\) 逐元相乘再求和（\(h[n]\) 翻转前是 \(h[-2] \, h[-1] \, h[0]\)）
将 \(x[-1]*h[-2]\) 填入卷积结果的第一个位置： \[ \begin{align} &x[-1] \,\,\,x[0] \,\,\, x[1] \,\,\, x[2] \\ h[0] \,\,\, h[-1] \,\,\, &h[-2] \\ \end{align} \]
将 \(h[-n]\) 右移一个单位，并将 \(x[-1] * h[-1] + x[0] * h[-2]\) 填入卷积结果的第二个位置： \[ \begin{align} &x[-1] \,\,\,x[0] \,\,\, x[1] \,\,\, x[2] \\ h[0] \,\,\, &h[-1] \,\,\, h[-2] \\ \end{align} \]
依此类推，直至将 \(h[n]\) 右移至以下情形，并将 \(x[2] * h[0]\) 填入卷积结果的最后一个位置： \[ \begin{align} x[-1] \,\,\,x[0] \,\,\, x[1] \,\,\, &x[2] \\ &h[0] \,\,\, h[-1] \,\,\, h[-2] \\ \end{align} \]
注意：离散 LTI 卷积公式要求"翻转谁"、就"平移谁"，如上例中翻转"翻转 \(h[n]\)"、就"平移 \(h[-n]\)"
三、连续 LTI 卷积
几个重要函数：
- 无限窄方波函数：记作 \(\delta_{\Delta}(t)\)，表示时间宽度为 0 ~ \(\Delta\)，高度为 \(\dfrac{1}{\Delta}\) 的一小段方波（面积 = 1）
- 冲激函数：\(\delta(t) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \delta_{\Delta}(t)\)，即 无限窄方波函数的极限
- 冲激响应：\(x(t) \xrightarrow{LTI} h(t)\)，其中 \(h(t) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} h_{\Delta}(t)\)
连续 LTI 卷积公式⭐：\(x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)，证明过程如下： \[ \begin{align} &\text{由冲激响应定义可知 } \delta_{\Delta}(t) \xrightarrow{LTI} h_{\Delta}(t) \\ &\text{由LTI的时不变性可知 } \delta_{\Delta}(t-k\Delta) \xrightarrow{LTI} h_{\Delta}(t - k\Delta) \\ &\text{由LTI的齐次性可知 } x(k\Delta) \delta_{\Delta}(t - k\Delta) \Delta \xrightarrow{LTI} x(k\Delta)h_{\Delta}(t - k\Delta)\Delta \\ &\text{由LTI的叠加性可知 } \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t - k\Delta)\Delta \xrightarrow{LTI} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x(k\Delta)h_{\Delta}(t - k\Delta)\Delta \\ &\text{由已知推论 } x(t) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta}(t) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t - k\Delta)\Delta \text{ 可知，}x(t) \xrightarrow{LTI} \lim_{\Delta \rightarrow 0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x(k\Delta)h_{\Delta}(t - k\Delta)\Delta \\ &\text{由冲激响应的极限定义可知 } x(t) \xrightarrow{LTI} \lim_{\Delta \rightarrow 0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}x(k\Delta)h(t - k\Delta)\Delta = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau \text{ ，证毕。} \end{align} \]
\(\delta(t)\) 函数的 5 个性质：
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1\) = (\(\int_{-\infty}^{+\infty} [\lim_{\Delta \rightarrow 0} \delta_{\Delta}(t)]dt = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_{\Delta}(t) dt = \lim_{\Delta \rightarrow 0} 1\))，即 \(\delta(t)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的积分为 1
\(\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t) dt = x(0)\)，证明如下： \[ \begin{align} & \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t) dt \\ =& \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) (\lim_{\Delta \rightarrow 0} \delta_{\Delta}(t)) dt \\ =& \lim_{\Delta \rightarrow 0} \int_{0}^{\Delta} x(t) \dfrac{1}{\Delta} dt = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \dfrac{1}{\Delta} \int_{0}^{\Delta}x(t)dt \text{ （该积分仅在0到}\Delta\text{上有取值）} \\ & \text{由积分中值定理，} \lim_{\Delta \rightarrow 0} \dfrac{1}{\Delta} \int_{0}^{\Delta}x(t)dt = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \dfrac{1}{\Delta} x(\xi) \Delta = \lim_{\Delta \rightarrow 0} x(\xi) = x(0) \text{ ，证毕。} \end{align} \]
注意：性质2是性质1的特例，令 性质2 中的 x(t)=1 即可得到性质1
\(x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)\)，证明如下： \[ \begin{align} &\text{Lebesgue 对函数 }f_1(x) \text{和} f_2(x) \text{ 相等的定义：对}\textbf{任意函数 }y(t)\text{ 有}\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)f_1(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} y(t)f_2(t) dt \\ &\text{上式左侧}\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) [x(t)\delta(t)]dt = \int_{-\infty}^{+\infty}[y(t)x(t)]\delta(t)dt \text{ ，由性质2可知 } \int_{-\infty}^{+\infty} [y(t)x(t)]\delta(t) dt = y(0)x(0) \\ &\text{上式右侧}\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} y(t)[x(0)\delta(t) ] dt = \int_{-\infty}^{+\infty} [y(t)x(0)]\delta(t) dt \text{ ，由性质2可知 } \int_{-\infty}^{+\infty} [y(t)x(0)]\delta(t) dt = x(0)y(0) \\ &\text{由 }\int_{-\infty}^{+\infty} y(t) [x(t)\delta(t)]dt = \int_{-\infty}^{+\infty} y(t)[x(0)\delta(t) ] dt \text{ ，} x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t) \text{ ，证毕。} \end{align} \]
注意：该性质的变式为 \(x(t) \delta(t - t_0) = x(t_0) \delta(t-t_0)\)
\(\delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t)\)（\(a \ne 0\)），证明如下： \[ \begin{align} &\text{上式右侧} \Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|a|} y(t) \delta(t) dt \text{ ，由性质3可知 } \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|a|} y(t) \delta(t) dt = \dfrac{1}{|a|}y(0) \\ &\text{右侧证明类似，注意讨论 a 的正负} \\ &\text{由 } \int_{-\infty}^{+\infty} y(t) \delta(at)dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{|a|} y(t) \delta(t) dt \text{ ，}\delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t) \text{ ，证毕。} \end{align} \]
注意：该性质的变式为 \(\delta(at + b) = \dfrac{1}{|a|}\delta(t + \dfrac{b}{a})\)
\(\delta(f(t)) = \sum_{\forall{t_0}\text{, }f(t_0)=0} \dfrac{1}{|f'(t_0)|}\delta(t-t_0)\)，使用 Lebesgue 函数相等定义证明。
- 分解 \(\delta(\cos(t))\)（例题）：令 \(\cos(t_0) = 0\)，解得 \(t_0 = k\pi + \dfrac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) \(|\cos'(t_0)| = |-\sin(t_0)| = 1\)
故 \(\delta(\cos(t)) = \sum_{k = -\infty}^{k=+\infty} 1 * \delta(t-k\pi-\dfrac{\pi}{2})\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）
注意：该性质是性质 4 的推广，取 性质 5 中的 \(f(t) = at\) 即可
- 分解 \(\delta(\cos(t))\)（例题）：令 \(\cos(t_0) = 0\)，解得 \(t_0 = k\pi + \dfrac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) \(|\cos'(t_0)| = |-\sin(t_0)| = 1\)
四、卷积的性质
- 什么是"卷积"（简单理解）："卷"指对响应函数的翻转操作，"积"指 \(x\) 和 \(h\) 的乘积操作
- 翻转：对响应函数的 对称翻转 操作
- 平移：对翻转后的函数进行 平移 操作
- 乘积：将平移后的函数和响应函数进行乘积
- 求和：对乘积式进行求和（或积分）
- 交换律：连续型有 \(x(t) * h(t) = h(t) * x(t)\)；离散型有 \(x[n] * h[n] = h[n] * x[n]\)
- 结合律：连续型有 \([x(t) * h_1(t)] * h_2[t] = [x(t) * h_2(t)] * h_1(t)\)；离散型同理
- 分配律：连续型有 \(x(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) * h_1(t) + x(t) * h_2(t)\)；离散型同理
五、LTI 系统的性质
LTI 系统稳定 \(\Leftrightarrow\) \(\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)| dt < +\infty\)，对于离散型有 \(\sum_{k = -\infty}^{+\infty} |h[n]| < +\infty\)，连续型的证明如下： \[ \begin{align} &\text{先证明必要性：设 }x(t) \text{ 是有界的，则有 }|x(t)| \le M \\ &\text{则输出 }y(t) \text{ 也是有界的，即 } |y(t)| = |x(t) * h(t)| = |\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau| \le \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t-\tau)||h(\tau)| d\tau \le M \int_{-\infty}^{+\infty} |h(\tau)| d\tau \\ &\text{由 }\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)| dt \text{ 有界可知，} |y(t)| \text{ 有界，即LTI是稳定的。} \\ \\ &\text{再证明充分性：设LTI稳定，则对于有界的一个信号 }x(t) \text{，有 }|y(t)| = |x(t) * h(t)| \le +\infty \\ &\text{不妨设当 }h(-t) \ge 0 \text{ 时 }x(t) = +1 \text{，当 }h(-t) < 0 \text{ 时 }x(t) = -1。\\ &\text{则 }y(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(0-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty}|h(-\tau)|d\tau < +\infty \text{ ，证毕。} \end{align} \]
LTI 系统因果 \(\Leftrightarrow\) \(h(t) = 0\)（\(t < 0\)），对于离散型有 \(h[n] = 0\)（\(n < 0\)），连续型的证明如下： \[ \begin{align} &t_0\text{ 时刻输出信号 }y(t_0) = x(t_0) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t_0 - \tau)d\tau \text{ ，由因果性 }y(t_0)\text{ 仅与 }\tau < t_0 \text{ 的 }x(\tau) \text{ 相关。} \\ &y(t_0)\text{ 仅与 }t_0 \text{ 之前的 }x\text{ 的取值有关 } \Leftrightarrow h(t_0 - \tau) \text{ 在 }t_0 < \tau \text{ 时（未来时）取 }0 \Leftrightarrow t < 0 \text{ 时 } h(t) = 0 \text{ ，证毕。} \end{align} \]
注意：以上两个性质仅对 LTI 系统成立